Медведь завоевал 3 золотые медали Олимпийских игр, 7 золотых, 1 серебряную и 1 бронзовую медаль чемпионатов мира по вольной борьбе за СССР.
На чемпионате мира 1962 года в Толидо он был соперник иранского легендарного борца Голамрезы Тахти. Медведь страдал от сильной боли в колене. Иранский борец, узнав об этом, ни разу не атаковал его травмированную ногу во время боя. Медведь назвал этот поединок самым честным в своей жизни.